辞書では最初に書かれている意味が語源なんでしょうが、小学校6年生から競馬を見始めて、間違い無く「しんがり」は競馬で覚えた言葉で、半分競馬用語みたいなものでしょう。日常生活では殆ど使わないと思います。仮に運動会等で「べった」、「ビリ」、「どべ」の代わりに「しんがり」と言えば、「おっ！競馬ファンやな」と思います。まあ、一般ではスピーチで「しんがりを務めさせて頂きます」みたいな使い方でしょうか。